看来看去觉得这话莫名其妙，不知道是不是有啥熟语之类

先着の一家の中、同年輩の競争者をみつけたために、私の子供たちはひどく刺激されたかと見えて、負けじとばかりに廃品の山を崩しにかかっていた。

負けじとばかりに廃品の山を崩しにかかっていた。→不服输地破坏起废品堆来。

供参考

先着の一家の中、同年輩の競争者をみつけたために、私の子供たちはひどく刺激されたかと見えて、負けじとばかりに廃品の山を崩しにかかっていた。

看到先来的一家人中有年龄相仿的竞争者，我的孩子们看起来似乎受到了极大的刺激，不甘居人后地开始扒起了废品堆成的小山。